几种外积的概念辨析

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  最近在学习 PyTorch 的时候，看到文档中计算两个向量的“outer product”后得到一个矩阵。我刚开始理所当然地把“outer product”理解为高中所学的外积，即叉积。但我越想越不对劲：两个向量的叉积不应该还是向量吗，怎么会叉出矩阵来呢？查了一波资料后发现这里的“outer product”不是叉积，而是张量积。
  中文里的外积一词常出现在代数、几何学等领域中。对两向量 A⃗\vec{A} 与 B⃗\vec{B} 而言，外积可指：

  • 叉积（Cross product），又称向量积（Vector product），常写为 A⃗×B⃗\vec{A}\times\vec{B}；
  • 楔积（Wedge product 或 Exterior product），常写为 A⃗∧B⃗\vec{A}\wedge\vec{B}；
  • 张量积（Tensor product 或 Outer product），常写为 A⃗⊗B⃗\vec{A}\otimes\vec{B}。

  上述三种都可称作外积，但含义却大相径庭，因此极易出现混淆，尤其是“exterior”和“outer”都有外面的意思，我发现网上许多文章甚至一些教科书中都出现了翻译、解释上的错误。我认为避免混淆的最好办法就是使用“叉积”、“向量积”、“楔积”、“张量积”这些没有歧义的词语，而避免使用“外积”一词。
  下面是对几种外积概念的简要辨析。

一、叉积

  两个向量 a⃗\vec{a} 和 b⃗\vec{b} 的叉积仅在三维空间中有定义，写作 a⃗×b⃗\vec{a}\times\vec{b}。在物理学中，叉积有时也被写成 a⃗∧b⃗\vec{a}\wedge\vec{b}，但在数学中 a⃗∧b⃗\vec{a}\wedge\vec{b} 是外代数中的外积（楔积）。
  叉积可以定义为：

a⃗×b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣sin⁡θ n⃗\vec{a}\times\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\sin{\theta}\ \vec{n}

其中 sin⁡θ\sin{\theta} 表示 a⃗\vec{a} 和 b⃗\vec{b} 在它们所定义的平面上的夹角（0∘≤θ≤180∘0^{\circ}\leq\theta\leq180^{\circ}）。∣a⃗∣|\vec{a}| 和 ∣b⃗∣|\vec{b}| 是向量 a⃗\vec{a} 和 b⃗\vec{b} 的模长，而 n⃗\vec{n} 则是一个与 a⃗\vec{a}、b⃗\vec{b} 所构成的平面垂直的单位向量，方向由右手定则决定。

  叉积可以表达为这样的行列式：

u⃗×v⃗=∣i⃗j⃗k⃗u1u2u3v1v2v3∣\vec{u}\times\vec{v} = \begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\u_{1}&u_{2}&u_{3}\\v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{vmatrix}

  沿第一行进行拉普拉斯展开可得：

u⃗×v⃗=∣u2u3v2v3∣i⃗+∣u1u3v1v3∣j⃗+∣u1u2v1v2∣k⃗=(u2v3−u3v2)i⃗−(u1v3−u3v1)j⃗+(u1v2−u2v1)k⃗\begin{aligned} \vec{u}\times\vec{v} &= \begin{vmatrix}u_{2}&u_{3}\\v_{2}&v_{3}\end{vmatrix}\vec{i} + \begin{vmatrix}u_{1}&u_{3}\\v_{1}&v_{3}\end{vmatrix}\vec{j} + \begin{vmatrix}u_{1}&u_{2}\\v_{1}&v_{2}\end{vmatrix}\vec{k}\\ &= (u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2})\vec{i} - (u_{1}v_{3}-u_{3}v_{1})\vec{j} + (u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1})\vec{k} \end{aligned}

二、楔积

  不了解，貌似是定义在张量空间上的一种运算。具体细节请移步维基百科外代数（格拉斯曼代数）词条，我反正看不懂。

三、张量积

  在数学中，张量积，记为⊗\otimes，可以应用于不同的上下文中,如向量、矩阵、张量、向量空间、代数、拓扑向量空间和模。在各种情况下这个符号的意义是同样的：最一般的双线性运算。在某些上下文中也叫做外积。
  向量的外积是矩阵的克罗内克积的特殊情况。
  给定m×1m \times 1列向量u⃗\vec{u}和1×n1 \times n行向量v⃗\vec{v}，它们的外积u⃗⊗v⃗\vec{u} \otimes \vec{v}被定义为m×nm \times n矩阵A\mathbf{A}，结果出自

u⃗⊗v⃗=A=u⃗ v⃗\vec{u} \otimes \vec{v} = \mathbf{A} = \vec{u}\ \vec{v}

这里的张量积就是向量的乘法。
例子：

b⃗⊗a⃗→[b1b2b3b4][a1a2a3]=[a1b1a2b1a3b1a1b2a2b2a3b2a1b3a2b3a3b3a1b4a2b4a3b4]\vec{b} \otimes \vec{a} \rightarrow \begin{bmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ b_4\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a_1 & a_2 & a_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a_1b_1 & a_2b_1 & a_3b_1 \\ a_1b_2 & a_2b_2 & a_3b_2 \\ a_1b_3 & a_2b_3 & a_3b_3 \\ a_1b_4 & a_2b_4 & a_3b_4\end{bmatrix}

  结果的秩为1，结果的维数为 4×3 = 12。这里的秩指的是“张量秩”（所需指标数），而维数计算在结果数组(阵列)中自由度的数目。